INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS: 12 oct 2011

EJERCICIOS

SENOS Y COSENOS

Notita: Sobre producto de funciones trigonómetricas con exponentes pares

"Si ambos exponentes son pares - como arriba - el proceso puede ser simplificado usando ángulos dobles''

Volvamos al mismo ejemplito:

Escribamos,

Luego:

Usemos en la primera integral u= 2x ahora derivando tenemos du= 2dx

Ahora en la segunda integral usemos u= sin(2x) ahora derivando tenemos du= 2 cos(2x) dx

Entonces

Lo que resulta una expresión algo más simple y compacta que la anterior.

SECANTES Y TANGENTES

Ahora usemos el siguiente cambio de variables: u=tan(x) derivemos

Por lo tanto:

Luego:

ESTRATEGIA PARA HALLAR INTEGRALES QUE CONTIENEN SECANTES Y TANGENTES

1.- Si la potencia de la secante es par y positiva, conservar un factor $\sec ^{2}(x)$ y pasar los restantes factores a tangentes. A continuación, desarrollar e integrar.

2.- Si la potencia de la tangente es impar y positiva , conservar un factor $\sec (x)\tan (x)$ y pasar los restantes factores a tangentes. A continuación, desarrollar e integrar.

3.- Si no hay factores secante y la potencia de la tangente es par y positiva, pasar un factor $\tan ^{2}(x)$ a la forma $\sec ^{2}(x)$ , desarrollar y repetir el proceso si fuera necesario.

4.- Si la integral es de la forma , con m impar y positivo, integrar por método de

reducción.

5.- Si no se da ninguna de las cuatro circunstancias precedentes, intente convertir el integrando en senos y cosenos.

ESTRATEGIA PARA HALLAR INTEGRALES CON SENOS Y COSENOS

1.- Si la potencia del sin(x) es par o impar, conservar un factor sin(x)y pasar los demás a cos(x), desarrollar e integrar.

2.- Si la potencia del cos(x) es impar y positiva, conservar un factor cos(x) y pasar los demás a sin(x), desarrollar e integrar.

3.- Si las potencias del sin(x) y del cos(x) son pares y positivas , usar repetidamente las identidades:

para convertir el integrando en uno con potencias impares del cos (x).A continuación, proceder como en la estrategia 2.

4.- Si los dos exponentes son pares, otro procedimiento a seguir es dejar expresado el producto en términos de una sola función (conviene , por supuesto dejarlo expresado en términos de la función de mayor exponente) y luego usar la correspondiente fórmula de reducción.